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每日习题(完结)

不定期更新，为帮助补考同学，将一系列基础题整理成册放在本文中。这是下载链接。

这是书本目录，在文件中也可以看到。

数学物理方法

  1. 复变函数
    1. 复数与复数运算
    2. 复变函数
    3. 导数
    4. 解析函数
  2. 复变函数积分
    1. 复变函数积分
    2. 柯西定理
    3. 不定积分
    4. 柯西公式
  3. 幂级数展开
    1. 复数项级数
    2. 幂级数
    3. 泰勒级数展开
    4. 洛朗级数展开
  4. 留数定理
    1. 留数定理
    2. 使用留数定理计算实变函数积分
  5. 傅里叶变换
    1. 傅里叶级数
    2. 傅里叶积分与变换
    3. delta(x)函数
  6. 拉普拉斯变换
    1. 拉普拉斯变换
    2. 拉普拉斯变换的反演
  7. 数学物理定解问题
    1. 数学物理方程的导出
    2. 定解条件
    3. 达朗贝尔方程
  8. 分离变数法
    1. 齐次方程的分离变数
    2. 非齐次震动方程和运输方程
    3. 非齐次边界条件的处理
    4. 泊松方程
  9. 二阶常微分方程级数
    1. 特殊函数常微分
    2. 常点邻域的级数解法
    3. 正则奇点邻域上的级数解
    4. 施特姆-刘维尔本征值问题
  10. 球函数
    1. 轴对称球函数
    2. 连带勒让德方程
    3. 一般球函数
  11. 柱函数
    1. 三类柱函数
    2. 贝塞尔方程
    3. 虚宗量贝塞尔

电磁学

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物理1班 —— 题一

质量为2m和m的小球A,B由长为l的轻杆连接，直立于光滑水平面上，如图.若在下球B上作用一水平恒力F,使B球移动一段距离，此时杆与水平方向的夹角为theta，求此时水平面对B球的作用力.

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2020/9/25每日一题047

证明：
int_0^pi x a^{sin x}mathrm{d}xcdot int_0^{frac{pi}{2}}a^{-cos x}mathrm{d}xge frac{pi^2}{4},quad a > 0.

解

令x=frac{pi}{2}+t，并应用定积分的奇偶、对称性，有
begin{aligned} int_0^pi x a^{sin x}mathrm{d}x&=int_{-frac{pi}{2}}^{frac{pi}{2}}left(frac{pi}{2}+tright)a^{cos t}mathrm{d}t\ &=frac{pi}{2}int_{-frac{pi}{2}}^{frac{pi}{2}}a^{cos t}mathrm{d}t+int_{-frac{pi}{2}}^{frac{pi}{2}}ta^{cos t}mathrm{d}t\ &=piint_0^{frac{pi}{2}}a^{cos x}mathrm{d}x end{aligned}
代入原式左边，应用柯西-施瓦兹不等式得
int_0^pi x a^{sin x}mathrm{d}xcdot int_0^{frac{pi}{2}}a^{-cos x}mathrm{d}xge frac{pi^2}{4}.